Komplexe Zahlen

Rechenregeln, Darstellung in der Algebra- und Polarform, Betrag, Argument, Potenzen, Wurzeln und typische Rechenaufgaben — vollständig vorbereitet für Übungen und Klausuren.

1. Grundbegriffe und Notation

Eine komplexe Zahl \(z\) hat die Form \[ z = a + b\,i,\qquad a,b\in\mathbb{R},\; i^2 = -1. \] Man nennt \(a=\Re(z)\) den Realteil und \(b=\Im(z)\) den Imaginärteil.

2. Rechenregeln (Algebra)

Für \(z_1 = a+bi,\ z_2 = c+di\) gelten:

\(z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i\)
\(z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i\)
\(z_1\cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} = \dfrac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}\) für \(z_2\neq 0\)
Konjugation: \(\overline{z} = a - bi\)
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) (Betrag)
\(\langle z_1,z_2\rangle\) (Skalarprodukt-Bezug): \(\Re(\overline{z_1}z_2)=a c + b d\)

3. Konjugierte und Betragsregeln

Wichtige Identitäten:

\(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}\)
\(\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1}\,\overline{z_2}\)
\(|z|^2 = z\overline{z}\)
\(\overline{\overline{z}} = z\)
\(|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|\), \(|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|\) für \(z_2\neq0\)

4. Geometrische Darstellung und Polarform

Eine komplexe Zahl \(z=a+bi\) entspricht dem Punkt \((a,b)\) in der Gaußschen Zahlenebene. Betrag und Argument: \[ |z| = r = \sqrt{a^2+b^2},\qquad \arg(z)=\varphi \quad(\varphi\in[0,2\pi)). \] Polarform: \[ z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi). \] Mit der Euler-Formel: \[ z = r\,e^{i\varphi}. \]

5. Rechenregeln in Polarform

Für \(z_1=r_1 e^{i\varphi_1},\ z_2=r_2 e^{i\varphi_2}\) gilt:

\(z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}\)
\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}\)
\(z^n = r^n e^{i n\varphi}\) (De Moivre)
\( \sqrt[n]{z} = r^{1/n} e^{i(\varphi + 2\pi k)/n},\ k=0,\dots,n-1\)

6. Wichtige Methoden & Tricks

Zur Division: mit konjugiertem Nenner multiplizieren.
Argument korrekt bestimmen: Achte auf Quadrant (atan2-Funktion benutzen).
Bei Potenzen/Wurzeln: zuerst in Polarform bringen, dann De Moivre / Wurzeln anwenden.
Zur Umformung in \(a+bi\): nach Multiplikation in Polarform wieder in Kartesisch umrechnen via Cos/Sin.

7. Beispiele / Übungen

Beispiel 1: Berechne \( (3 + 2i) + (5 - 4i) \).

Ergebnis: \( 8 - 2i \)

Beispiel 2: Berechne \( (7 - i) - (2 + 3i) \).

Ergebnis: \( 5 - 4i \)

Beispiel 3: Multipliziere \( (1 + 2i)(3 - i) \).

Ergebnis: \( 5 + 5i \)

Beispiel 4: Dividiere \( (4 + 3i) / (1 - i) \).

Ergebnis: \( \frac{1}{2}(7 + i) = 3.5 + 0.5i \)

Beispiel 5: Bestimme den Betrag von \( z = -3 + 4i \).

\(|z| = 5\)

Beispiel 6: Bestimme das Argument von \( z = 1 - i \).

\(\arg(z) = \frac{7\pi}{4}\)

Beispiel 7: Schreibe \( z = -1 + \sqrt{3}i \) in Polarform.

\( z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\right) \)

Beispiel 8: Berechne \( i^5 \).

Ergebnis: \( i \)

Beispiel 9: Berechne \( (2 - i)^3 \).

Ergebnis: \( 2 - 11i \)

Beispiel 10: Finde alle dritten Wurzeln von \( 8i \) in Polarform.

\( w_k = 2\left(\cos\frac{\pi/6 + 2\pi k}{3} + i \sin\frac{\pi/6 + 2\pi k}{3}\right),\ k=0,1,2 \)

Beispiel 11: Berechne \(|1+2i|^2\).

\(|1+2i|^2 = 1^2 + 2^2 = 5\)

Beispiel 12: Vereinfache \( (3+i)(3-i)(2+i) \).

Ergebnis: \( 20 + 10i \)

Beispiel 13: Löse \(|z-2| = |z+2i|\) für \( z \in \mathbb{C} \).

Ergebnis: Gerade \( y = -x \)

Beispiel 14: Berechne \( (1+i)^6 \) in Polarform und \(a+bi\).

\( (1+i)^6 = 8i \)

Beispiel 15: Zeige: \(|z_1 z_2| = |z_1||z_2|\) für \( z_1=1+i, z_2=2-i \).

\(|z_1 z_2| = |1+i||2-i| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{10}\)

8. Nützliche Übungsaufgaben (zusätzliche Aufgaben)

Berechne \(\frac{(2+i)^3}{1-2i}\) in der Form \(a+bi\).
Finde alle vierten Wurzeln von \(1+i\).
Zeichne die Lösungen der Gleichung \(|z-1| = 2\) in der Gaußschen Ebene.
Beweise: \(|z+w| \le |z| + |w|\) für \(z,w\in\mathbb{C}\) (Dreiecksungleichung).

9. Kurze Zusammenfassung / Merkhilfen

Für algebraische Umformungen immer zuerst in \(a+bi\) arbeiten oder Nenner mit Konjugiertem entfernen.
Für Potenzen/Wurzeln immer in Polarform überführen (Euler + De Moivre).
Achte bei Argumenten auf den richtigen Quadranten (nutze \( \operatorname{atan2}(b,a)\) in numerischen Fällen).
Konjugation reflektiert an der reellen Achse: \( \overline{a+bi} = a - bi\).

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