Quadriken (HM1)

Quadriken sind Kurven/Flächen, die durch eine quadratische Gleichung beschrieben werden. In HM1 geht es in erster Linie um Quadriken in \(\mathbb{R}^2\) (Kegelschnitte), und um die systematische Methode: Matrixform → Diagonalisierung (Rotation) → quadratische Ergänzung (Translation) → euklidische Normalform.

Typische Klausuridee: Du bekommst eine Gleichung wie \(\;x_1^2+6x_1x_2+x_2^2+4x_1-4=0\;\) und sollst sie auf Normalform bringen (Ellipse/Hyperbel/Parabel erkennen, ggf. Koordinatensystem angeben).

1. Allgemeine Form und Matrixschreibweise

Definition (Quadrik in \(\mathbb{R}^n\)). Eine Quadrik ist die Menge aller \(x\in\mathbb{R}^n\), die eine Gleichung der Form \[ x^\top A x + 2a^\top x + c = 0 \] erfüllen, wobei \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) symmetrisch, \(a\in\mathbb{R}^n\), \(c\in\mathbb{R}\).

In \(\mathbb{R}^2\) schreibt man oft: \[ Ax_1^2 + Bx_1x_2 + Cx_2^2 + Dx_1 + Ex_2 + F = 0. \] Dann ist \(A=\begin{pmatrix}A & B/2\\ B/2 & C\end{pmatrix}\) in der Matrixform.

Beispiel (Matrix finden). \[ 9x_1^2 - 4x_1x_2 + 6x_2^2 + 6\sqrt5\,x_1 - 8\sqrt5\,x_2 - 10 = 0 \] wird zu \[ x^\top\begin{pmatrix}9&-2\\-2&6\end{pmatrix}x + 2\begin{pmatrix}3\sqrt5\\-4\sqrt5\end{pmatrix}^\top x - 10 = 0. \] (Der gemischte Term \(Bx_1x_2\) wird zu \(2a_{12}x_1x_2\), also \(a_{12}=B/2\).)

2. Ziel: Euklidische Normalform

Idee. Wir suchen ein kartesisches Koordinatensystem \(G=(P;u_1,u_2)\) (also Rotation durch orthonormale \(u_1,u_2\) und Translation durch \(P\)), sodass die Quadrik in neuen Koordinaten \(z=(z_1,z_2)\) möglichst einfach ist:

Ellipse: \(\;\frac{z_1^2}{a^2}+\frac{z_2^2}{b^2}=1\)
Hyperbel: \(\;\frac{z_1^2}{a^2}-\frac{z_2^2}{b^2}=1\)
Parabel: \(\;z_2 = \gamma z_1^2\) (oder ähnlich)
Paar Geraden / Punkt / leere Menge (Sonderfälle)

3. Standard-Algorithmus (Prüfungsrezept)

Algorithmus (Schrittfolge). Gegeben \(\;x^\top A x + 2a^\top x + c = 0\) in \(\mathbb{R}^2\).

Rotation: Diagonalisieren \(A\): finde orthogonales \(U\) mit \[ U^\top A U = \begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}. \] Setze \(x = Uy\). Dann wird der quadratische Anteil diagonal.
Linearterm transformieren: Aus \(2a^\top x\) wird \(2(U^\top a)^\top y\).
Translation (quadratische Ergänzung): Schreibe die Gleichung in \(y\) als \[ \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + 2\tilde a_1 y_1 + 2\tilde a_2 y_2 + c = 0 \] und ergänze in \(y_1\), \(y_2\) zum Quadrat. Das entspricht einer Verschiebung \(y=z+p\).
Normalform lesen: Nach dem Verschieben steht eine Gleichung nur mit \(z_1^2,z_2^2\) (oder ein Term fehlt) → Typ bestimmen.

Schnelltest:

Wenn \(A\) positiv definit (\(\lambda_1>0,\lambda_2>0\)) ⇒ typischerweise Ellipse (oder leer/Punkt).
Wenn \(A\) indefinit (\(\lambda_1\lambda_2<0\)) ⇒ typischerweise Hyperbel.
Wenn \(\det(A)=0\) (ein Eigenwert 0) ⇒ Parabel/Sonderfall möglich.

4. Rotation: Diagonalisierung in \(\mathbb{R}^2\)

Für symmetrisches \(A\) gibt es eine orthonormale Eigenbasis \((u_1,u_2)\) und \[ U=\begin{pmatrix}u_1 & u_2\end{pmatrix}\ \text{orthogonal},\qquad U^\top A U=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2). \] In der Praxis:

Eigenwerte aus \(\det(A-\lambda I)=0\)
Eigenvektoren berechnen
Normieren

Mini-Beispiel (gemischter Term entfernen). Wenn in der Gleichung ein Term \(Bx_1x_2\) vorkommt, ist \(A\) nicht diagonal. Eine Rotation \(x=Uy\) (also Wechsel in eine Eigenbasis von \(A\)) eliminiert den Kreuzterm.

5. Translation: Quadratische Ergänzung

Nach der Rotation erhält man typischerweise \[ \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + 2\tilde a_1 y_1 + 2\tilde a_2 y_2 + c = 0. \] Ergänze separat: \[ \lambda_1 y_1^2 + 2\tilde a_1 y_1 =\lambda_1\left(y_1+\frac{\tilde a_1}{\lambda_1}\right)^2-\frac{\tilde a_1^2}{\lambda_1} \quad(\lambda_1\neq 0), \] analog für \(y_2\). Dann setze \[ z_1 = y_1+\frac{\tilde a_1}{\lambda_1},\qquad z_2 = y_2+\frac{\tilde a_2}{\lambda_2} \] (Achtung Vorzeichen: hängt davon ab, ob du \(\,+\frac{\tilde a_1}{\lambda_1}\) oder \(-\frac{\tilde a_1}{\lambda_1}\) wählst; wichtig ist die Quadratform).

6. Vollständiges Beispiel: Ellipse (mit Rotation und Verschiebung)

Beispiel (typisch HM1/HM1-2): \[ 9x_1^2+6x_2^2-4x_1x_2+6\sqrt5\,x_1-8\sqrt5\,x_2-10=0. \]

Schritt 1 (Matrixform): \(A=\begin{pmatrix}9&-2\\-2&6\end{pmatrix}\), \(a=\binom{3\sqrt5}{-4\sqrt5}\), \(c=-10\).
Schritt 2 (Eigenwerte): \(\lambda_1=10,\lambda_2=5\).
Schritt 3 (orthonormale Eigenvektoren): \[ u_1=\frac{1}{\sqrt5}\binom{-2}{1},\qquad u_2=\frac{1}{\sqrt5}\binom{1}{2}. \] Schritt 4 (Rotation): \(U=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}-2&1\\1&2\end{pmatrix}\), \(x=Uy\).
Schritt 5 (linearer Term in \(y\)): \(U^\top a=\binom{-10}{-5}\).
Schritt 6: \[ 10y_1^2+5y_2^2-20y_1-10y_2-10=0. \] Schritt 7 (quadratische Ergänzung): \[ 10(y_1-1)^2+5(y_2-1)^2=25. \] Setze \(z_1=y_1-1,\ z_2=y_2-1\): \[ \frac{2}{5}z_1^2+\frac{1}{5}z_2^2=1. \] Interpretation: Ellipse mit Halbachsen \(\sqrt{\frac{5}{2}}\) und \(\sqrt{5}\), im Koordinatensystem \(G=(P;u_1,u_2)\) mit \[ P = U\binom{1}{1}=\frac{1}{\sqrt5}\binom{-1}{3}. \]

7. Hyperbel-Beispiel (ohne lineare Terme)

Beispiel: \[ -4x_1x_2+14=0. \] Matrix des quadratischen Teils: \[ A=\begin{pmatrix}0&-2\\-2&0\end{pmatrix},\quad x^\top A x=-4x_1x_2. \] Eigenwerte: \(\lambda_1=2,\lambda_2=-2\) ⇒ indefinit ⇒ Hyperbeltyp. In Eigenkoordinaten \(y\) gilt: \[ 2y_1^2-2y_2^2+14=0 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{1}{7}y_1^2-\frac{1}{7}y_2^2+1=0. \] Hier braucht man keine Verschiebung, da kein linearer Term vorkommt.

8. Parabel-Fall: \(\det(A)=0\)

Wenn \(A\) singulär ist (\(\det(A)=0\)), dann verschwindet mindestens ein quadratischer Anteil nach Rotation. Typisch entsteht dann (nach Verschiebung) eine Parabel-Normalform.

Beispiel (Parabel-Charakter): \[ 4x_1^2 + x_2 - 3x_1 + \frac{25}{16}=0. \] Keine Rotation nötig (kein \(x_1x_2\)). Ergänze quadratisch in \(x_1\): \[ 4\left(x_1-\frac{3}{8}\right)^2 + x_2 + 1=0. \] Setze \(z_1=x_1-\frac{3}{8}\), \(z_2=x_2+1\): \[ z_2=-4z_1^2, \] also eine Parabel.

9. Klassifikation in \(\mathbb{R}^2\) (Merkliste)

Merkliste (nach dem Diagonalteil). Nach Rotation und Verschiebung sieht die Gleichung in \(z\) meist so aus: \[ \lambda_1 z_1^2 + \lambda_2 z_2^2 = 1\quad\text{oder}\quad \lambda_1 z_1^2 + \lambda_2 z_2^2 = 0. \]

\(\lambda_1>0,\lambda_2>0\): Ellipse (oder leer/Punkt je nach rechter Seite)
\(\lambda_1\lambda_2<0\): Hyperbel
ein \(\lambda_i=0\): Parabel oder Geradenpaar (abhängig von linearem/konstantem Term)
\(\lambda_1=\lambda_2\): Kreis (Spezialfall Ellipse)

10. Typische Klausur-Fallen

Gemischter Term: \(Bx_1x_2\) ⇒ Rotation (Eigenbasis von \(A\)) nötig.
Faktor 2 beim Linearterm: In \(x^\top A x + 2a^\top x + c\) steckt die 2 schon drin. Wenn du direkt aus \(Dx_1+Ex_2\) liest, musst du \(a=\binom{D/2}{E/2}\) nehmen.
Koordinatensystem angeben: Oft will man \(G=(P;u_1,u_2)\): \(u_i\) normierte Eigenvektoren, \(P\) aus der Verschiebung zurückgerechnet.
Vorzeichen beim Ergänzen: Immer so schreiben, dass ein echtes Quadrat \((\cdot)^2\) entsteht, dann ist die Verschiebung klar.

11. Checkliste (so schreibst du die Lösung im Examen)

1) Schreibe:  x^T A x + 2 a^T x + c = 0  (A symmetrisch)
2) Bestimme Eigenwerte/-vektoren von A → orthogonales U mit U^T A U = diag(λ1,λ2)
3) Rotation: x = U y  → Gleichung in y
4) Quadratische Ergänzung → Verschiebung y = z + p
5) Normalform in z lesen → Ellipse/Hyperbel/Parabel
6) Falls verlangt: Koordinatensystem G = (P; u1, u2) mit P = U p und ui = Spalten von U

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