Basiswechsel und Abbildungsmatrix
Dieses Dokument enthält die theoretischen Grundlagen zu Basen, Basiswechsel, Abbildungsmatrizen und deren Transformationen bei Basiswechsel.
1. Vektorräume und Basen
Definition.
Sei \(V\) ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper \(K\). Eine geordnete Menge \(\mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n)\) heißt Basis von \(V\), falls sie linear unabhängig ist und \(V\) aufspannt. Jeder \(x\in V\) besitzt eine eindeutige Darstellung
\[
x = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n.
\]
Der Koordinatenvektor bezüglich \(\mathcal{B}\) ist
\[
[x]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}.
\]
2. Basiswechsel
Seien \(\mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n)\) und \(\mathcal{C}=(w_1,\dots,w_n)\) Basen von \(V\). Die Basiswechselmatrix von \(\mathcal{B}\) nach \(\mathcal{C}\) wird durch die Koordinaten der Basisvektoren \(v_i\) in der Basis \(\mathcal{C}\) gebildet:
\[
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}
= \big[\, [v_1]_{\mathcal{C}} \ \vert\ \dots\ \vert\ [v_n]_{\mathcal{C}} \,\big].
\]
Für jeden Vektor \(x\in V\) gilt dann
\[
[x]_{\mathcal{C}} = P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\,[x]_{\mathcal{B}}.
\]
Die Matrix \(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\) ist invertierbar und
\[
P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} = \big(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\big)^{-1}.
\]
3. Lineare Abbildungen und Abbildungsmatrix
Sei \(T:V\to W\) linear, mit Basen \(\mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n)\) für \(V\) und \(\mathcal{D}=(u_1,\dots,u_m)\) für \(W\). Die Abbildungsmatrix von \(T\) bezüglich \((\mathcal{B},\mathcal{D})\) ist:
\[
[T]_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{B}}
= \big[\, [T(v_1)]_{\mathcal{D}} \ \vert\ \dots\ \vert\ [T(v_n)]_{\mathcal{D}} \,\big].
\]
Für alle \(x\in V\) gilt
\[
[T(x)]_{\mathcal{D}} = [T]_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{B}} \; [x]_{\mathcal{B}}.
\]
4. Abbildungsmatrix und Basiswechsel
Ändern wir die Basen in \(V\) und/oder \(W\), so transformieren sich die Darstellungsmatrizen entsprechend. Sei \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) Basen von \(V\) und \(\mathcal{D},\mathcal{E}\) Basen von \(W\). Dann gilt:
\[
[T]_{\mathcal{E}\leftarrow\mathcal{C}}
= P_{\mathcal{E}\leftarrow\mathcal{D}} \; [T]_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{B}} \; P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}.
\]
Diese Relation zeigt, dass Matrizen bei Basiswechsel durch Multiplikation mit den entsprechenden Basiswechselmatrizen 'links' und 'rechts' transformiert werden.
5. Spezialfall: \(T:V\to V\)
Für Endomorphismen \(T:V\to V\) und zwei Basen \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) ergibt sich die Ähnlichkeitstransformation
\[
[T]_{\mathcal{C}} = P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} \; [T]_{\mathcal{B}} \; P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}.
\]
Daraus folgt insbesondere, dass invarianten Charakteristika wie Eigenwerte unter Basiswechsel erhalten bleiben.
6. Rechenregeln und Eigenschaften
- Basiswechsel ändert nicht den zugrundeliegenden Vektor, nur seine Koordinaten.
- Basiswechselmatrizen sind invertierbar (daher nur Basen mit gleicher Dimension).
- Für Kompositionen linearer Abbildungen \(S:W\to U\) und \(T:V\to W\) gilt:
\[
[S\circ T]_{\mathcal{F}\leftarrow\mathcal{B}} = [S]_{\mathcal{F}\leftarrow\mathcal{D}} \; [T]_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{B}}.
\]
7. Kurze Beispiele
Beispiel 1 — Basiswechsel in \(\mathbb{R}^2\).
Sei \(\mathcal{B}=((1,0),(0,1))\) die Standardbasis und \(\mathcal{C}=((1,1),(1,-1))\).
Die Koordinaten der \(v_1=(1,0)\) und \(v_2=(0,1)\) in \(\mathcal{C}\) sind
\[
[v_1]_{\mathcal{C}} = \tfrac12\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad
[v_2]_{\mathcal{C}} = \tfrac12\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.
\]
Damit ist
\[
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} = \tfrac12\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
\]
Beispiel 2 — Abbildungsmatrix und Basiswechsel.
Sei \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) mit Matrix in der Standardbasis
\( [T]_{\text{std}} = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{pmatrix} \).
Wird nun auf Basis \(\mathcal{C}\) gewechselt, so berechnet sich die neue Darstellung durch
\[
[T]_{\mathcal{C}} = P_{\mathcal{C}\leftarrow\text{std}} \; [T]_{\text{std}} \; P_{\text{std}\leftarrow\mathcal{C}}.
\]
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