Schmidtsches Orthonormierungsverfahren (Gram–Schmidt)
Dieses Kapitel erklärt das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren in der in Stuttgart üblichen Notation
mit dem Skalarprodukt \(\langle v \mid w \rangle\).
Ziel: aus einer beliebigen Basis eine Orthonormalbasis konstruieren.
1. Motivation
In vielen Anwendungen (Diagonalisierung symmetrischer Matrizen, Projektionen, Hessesche Normalform,
Hauptachsentransformation) benötigen wir eine Orthonormalbasis.
Eine Familie von Vektoren \( (f_1,\dots,f_n) \) heißt
- orthogonal, falls \(\langle f_i \mid f_j \rangle = 0\) für \(i \neq j\),
- orthonormal, falls zusätzlich \(\|f_i\|=1\) gilt.
Warum ist das nützlich?
Mit einer Orthonormalbasis sind Projektionen, Koordinatenberechnungen und
Matrixdarstellungen besonders einfach.
2. Projektion
Die Projektion eines Vektors \(v\) auf einen Vektor \(u\neq 0\) ist definiert durch
\[
\mathrm{proj}_u(v)
=
\frac{\langle u \mid v \rangle}{\langle u \mid u \rangle} \, u.
\]
Diese Formel wird im Gram–Schmidt-Verfahren ständig benutzt.
3. Das Verfahren (allgemein)
Gegeben sei eine linear unabhängige Familie
\[
(b_1,\dots,b_n)
\]
in einem Skalarproduktraum (z.B. \(\mathbb{R}^n\) mit
\(\langle v \mid w \rangle = \sum v_i w_i\)).
Schmidt-Orthogonalisierung.
Wir konstruieren Vektoren \(u_1,\dots,u_n\) rekursiv:
\[
u_1 = b_1,
\]
\[
u_k = b_k - \sum_{j=1}^{k-1}
\frac{\langle u_j \mid b_k \rangle}{\langle u_j \mid u_j \rangle}
u_j.
\]
Dadurch werden aus den \(b_k\) zunächst orthogonale Vektoren \(u_k\).
Normierung.
\[
f_k = \frac{u_k}{\|u_k\|},
\qquad
\|u_k\| = \sqrt{\langle u_k \mid u_k \rangle}.
\]
Die Vektoren \( (f_1,\dots,f_n) \) bilden eine Orthonormalbasis
desselben Unterraums wie \( (b_1,\dots,b_n) \).
4. Schritt-für-Schritt-Rezept (Klausur)
- Setze \(u_1=b_1\).
- Berechne \(u_2=b_2-\mathrm{proj}_{u_1}(b_2)\).
- Berechne \(u_3=b_3-\mathrm{proj}_{u_1}(b_3)-\mathrm{proj}_{u_2}(b_3)\).
- usw.
- Normiere: \(f_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}\).
Wichtig:
Immer mit den u-Vektoren arbeiten (orthogonal, aber noch nicht normiert),
nicht mit den bereits normierten \(f\)-Vektoren.
5. Beispiel in \(\mathbb{R}^3\)
Gegeben:
\[
b_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},
\quad
b_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.
\]
Schritt 1:
\[
u_1=b_1.
\]
Schritt 2:
\[
\mathrm{proj}_{u_1}(b_2)
=
\frac{\langle u_1 \mid b_2 \rangle}
{\langle u_1 \mid u_1 \rangle}
u_1.
\]
Berechnung:
\[
\langle u_1 \mid b_2 \rangle = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot1 = 1,
\]
\[
\langle u_1 \mid u_1 \rangle = 1^2+1^2+0^2=2.
\]
Also
\[
u_2
=
b_2 - \frac{1}{2}u_1
=
\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}
-
\frac12
\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}\frac12\\-\frac12\\1\end{pmatrix}.
\]
Normierung:
\[
f_1=\frac{u_1}{\|u_1\|},
\qquad
f_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}.
\]
6. Zusammenhang mit symmetrischen Matrizen
Bei symmetrischen Matrizen liefert der Spektralsatz eine Basis aus Eigenvektoren.
Falls ein Eigenwert mehrfache geometrische Vielfachheit besitzt,
kann man innerhalb dieses Eigenraums das Gram–Schmidt-Verfahren anwenden,
um eine Orthonormalbasis zu erhalten.
Für symmetrische Matrizen erhält man dadurch eine orthogonale Matrix \(Q\) mit
\[
A = Q D Q^T.
\]
7. Typische Klausuraufgaben
- Orthonormalbasis eines von gegebenen Vektoren erzeugten Unterraums bestimmen.
- Orthonormalbasis eines Eigenraums konstruieren.
- Orthogonale Matrix aus Eigenvektoren bilden.
8. Häufige Fehler
- Falsche Reihenfolge bei Projektionen.
- Projektion auf \(b_j\) statt auf \(u_j\).
- Normierung vergessen.
- Skalarprodukt nicht korrekt berechnet.
9. Zusammenfassung
- Gram–Schmidt erzeugt aus einer Basis eine Orthonormalbasis.
- Rekursiv: Projektionen abziehen.
- Notation in Stuttgart: \(\langle v \mid w \rangle\).
- Wichtig für Diagonalisierung symmetrischer Matrizen.
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