Koordinatentransformationen
Koordinatentransformationen beschreiben, wie sich die Koordinaten eines Vektors oder
die Darstellung einer Matrix ändern, wenn man die Basis wechselt.
Dieses Thema ist zentral für Diagonalisierung, Quadriken,
Hauptachsentransformation und Basiswechsel.
1. Grundidee
Ein Vektor \(x \in V\) bleibt geometrisch derselbe —
nur seine Koordinaten hängen von der gewählten Basis ab.
Sei \(\mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n)\) eine Basis von \(V\).
Dann besitzt jeder Vektor \(x\in V\) eine eindeutige Darstellung
\[
x = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n.
\]
Der Koordinatenvektor ist
\[
[x]_{\mathcal{B}} =
\begin{pmatrix}
a_1\\ \vdots\\ a_n
\end{pmatrix}.
\]
2. Basiswechselmatrix
Seien \(\mathcal{B}=(v_1,\dots,v_n)\) und \(\mathcal{C}=(w_1,\dots,w_n)\)
zwei Basen von \(V\).
Die Basiswechselmatrix von \(\mathcal{B}\) nach \(\mathcal{C}\) ist
\[
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}
=
\big[\, [v_1]_{\mathcal{C}} \ \vert\ \dots\ \vert\ [v_n]_{\mathcal{C}} \,\big].
\]
Für alle \(x\in V\) gilt:
\[
[x]_{\mathcal{C}}
=
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}
\, [x]_{\mathcal{B}}.
\]
Die Basiswechselmatrix ist immer invertierbar.
Es gilt:
\[
P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}
=
\big(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\big)^{-1}.
\]
3. Koordinatentransformation bei linearen Abbildungen
Sei \(T:V\to V\) linear.
Die Matrixdarstellung hängt von der gewählten Basis ab.
Die Darstellungsmatrix von \(T\) bezüglich \(\mathcal{B}\) ist
\[
[T]_{\mathcal{B}}
=
\big[\, [T(v_1)]_{\mathcal{B}} \ \vert\ \dots\ \vert\ [T(v_n)]_{\mathcal{B}} \,\big].
\]
Wechseln wir von Basis \(\mathcal{B}\) zu \(\mathcal{C}\), so gilt:
\[
[T]_{\mathcal{C}}
=
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}
\, [T]_{\mathcal{B}}
\,
P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}.
\]
Diese Transformation heißt Ähnlichkeitstransformation.
Eigenwerte bleiben dabei invariant.
4. Spezialfall: Orthogonale Transformation
Ist die neue Basis orthonormal (z.B. durch Gram–Schmidt),
dann ist die Basiswechselmatrix orthogonal.
Ist \(Q\) orthogonal, so gilt:
\[
Q^{-1} = Q^T.
\]
Dann vereinfacht sich die Transformationsformel zu
\[
[T]_{\mathcal{C}}
=
Q^T \, [T]_{\mathcal{B}} \, Q.
\]
5. Anwendung: Quadriken
Eine Quadrik wird durch
\[
x^T A x
\]
beschrieben.
Wählt man eine Basis aus Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix \(A\),
so wird \(A\) diagonal:
\[
A = Q D Q^T.
\]
Damit wird die Quadrik in Hauptachsenform gebracht.
Beispiel:
\[
A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Durch orthogonale Transformation erhält man
\[
D=\begin{pmatrix}
3 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Die gemischten Terme verschwinden.
6. Rechenbeispiel in \(\mathbb{R}^2\)
Standardbasis \(\mathcal{B}=((1,0),(0,1))\).
Neue Basis:
\[
\mathcal{C}=\big((1,1),(1,-1)\big).
\]
Koordinaten der Standardbasisvektoren in \(\mathcal{C}\):
\[
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}
=
\frac12
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{pmatrix}.
\]
Für einen Vektor \(x\) gilt:
\[
[x]_{\mathcal{C}}
=
P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}
[x]_{\mathcal{B}}.
\]
7. Typische Klausuraufgaben
- Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix.
- Transformieren Sie eine Matrix in eine neue Basis.
- Bringen Sie eine Quadrik durch Koordinatentransformation in Hauptachsenform.
- Zeigen Sie, dass Eigenwerte invariant sind.
8. Häufige Fehler
- Reihenfolge der Matrizenmultiplikation vertauscht.
- Falsche Richtung des Basiswechsels.
- Inverse vergessen.
- Verwechslung zwischen Koordinatenvektor und geometrischem Vektor.
9. Zusammenfassung
- Vektoren ändern bei Basiswechsel nur ihre Koordinaten.
- Matrizen transformieren sich durch Ähnlichkeit.
- Eigenwerte bleiben invariant.
- Orthogonale Transformationen vereinfachen Rechnungen stark.
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