Eine Folge \((a_{n_k})\) heißt Teilfolge von \((a_n)\), wenn
\[
n_1
Definition (Häufungspunkt).
Ein \(L\in\mathbb{R}\) heißt Häufungspunkt von \((a_n)\), wenn es eine Teilfolge \((a_{n_k})\) gibt mit
\[
a_{n_k}\to L.
\]
Bolzano–Weierstraß.
Jede beschränkte Folge besitzt mindestens eine konvergente Teilfolge.
Interpretation.
Beschränktheit garantiert: „Irgendwo“ muss die Folge einen Grenzwert haben (zumindest entlang einer Teilfolge),
selbst wenn die ganze Folge nicht konvergiert.
5. Cauchy-Kriterium (Folgen)
Definition (Cauchy-Folge).
\((a_n)\) heißt Cauchy-Folge, wenn
\[
\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall m,n\ge N:\ |a_n-a_m|<\varepsilon.
\]
Cauchy-Kriterium in \(\mathbb{R}\).
Eine Folge in \(\mathbb{R}\) ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
Warum braucht man „\(\mathbb{R}\) ist vollständig“?
In unvollständigen Räumen wäre „Cauchy ⇒ konvergent“ nicht zwingend wahr.
In HM1 nutzt du: \(\mathbb{R}\) ist vollständig, daher sind beide Begriffe äquivalent.
6. Reihen – Definition über Partialsummen
Eine Reihe ist nichts anderes als eine spezielle Folge: die Folge der Partialsummen.
Definition (Reihe).
Zu einer Folge \((a_n)\) heißt
\[
\sum_{k=1}^{\infty} a_k
\]
die zugehörige Reihe. Die Partialsummen sind
\[
S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k.
\]
Die Reihe heißt konvergent, wenn \((S_n)\) konvergiert.
Dann ist der Reihenwert
\[
\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n\to\infty} S_n.
\]
Notwendige Bedingung.
Ist \(\sum a_n\) konvergent, dann gilt
\[
a_n\to 0.
\]
Die Umkehrung gilt nicht.
Beispiel (Gegenbeispiel zur Umkehrung).
\(a_n=\frac1n \to 0\), aber die harmonische Reihe
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n
\]
divergiert.
7. Wichtige Reihen und Grundfakten
Geometrische Reihe.
Für \(q\in\mathbb{R}\) mit \(|q|<1\) gilt:
\[
\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}.
\]
Partialsummen:
\[
S_n=\sum_{k=0}^{n} q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{1}{1-q}.
\]
Teleskopsummen (sehr klausurrelevant).
Wenn \(a_k=b_k-b_{k+1}\), dann
\[
\sum_{k=1}^{n} (b_k-b_{k+1}) = b_1-b_{n+1}.
\]
Konvergenz hängt dann oft nur davon ab, ob \(b_{n}\) einen Grenzwert besitzt.
8. Konvergenzbegriffe bei Reihen
Absolute Konvergenz.
Eine Reihe \(\sum a_n\) heißt absolut konvergent, wenn
\[
\sum |a_n|
\]
konvergent ist.
Absolute Konvergenz ⇒ Konvergenz.
Wenn \(\sum |a_n|\) konvergiert, dann konvergiert auch \(\sum a_n\).
Bedingte Konvergenz.
\(\sum a_n\) heißt bedingt konvergent, wenn \(\sum a_n\) konvergiert,
aber \(\sum |a_n|\) divergiert.
Klausurhinweis.
Sobald in einer Aufgabe „absolute Konvergenz“ vorkommt:
- Prüfe zuerst \(\sum |a_n|\).
- Falls konvergent: fertig (dann ist auch \(\sum a_n\) konvergent).
- Falls divergent: dann kann \(\sum a_n\) trotzdem konvergent sein (bedingt) oder divergieren.
9. Cauchy-Kriterium (Reihen)
Cauchy-Kriterium für Reihen.
\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) ist konvergent genau dann, wenn
\[
\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall m>n\ge N:\
\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_k\right| < \varepsilon.
\]
Interpretation: Die „Reststücke“ der Reihe müssen beliebig klein werden.
10. Konvergenzkriterien (ohne L'Hospital, ohne Funktionsgrenzwerte)
Vergleichskriterium.
Sind \(0\le a_n \le b_n\) für alle \(n\) groß genug, dann gilt:
- Konvergiert \(\sum b_n\), dann konvergiert \(\sum a_n\).
- Divergiert \(\sum a_n\), dann divergiert \(\sum b_n\).
Majoranten-/Minorantenkriterium (gleiche Idee).
Finde eine „größere“ Reihe (Majorante) oder „kleinere“ (Minorante), deren Verhalten bekannt ist.
Quotientenkriterium.
Sei \(a_n\neq 0\) und existiere
\[
q=\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
\]
Dann gilt:
- Wenn \(q<1\), dann konvergiert \(\sum a_n\) absolut.
- Wenn \(q>1\), dann divergiert \(\sum a_n\).
- Wenn \(q=1\), keine Aussage.
Wurzelkriterium.
Existiere
\[
r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
\]
Dann:
- \(r<1\) ⇒ absolute Konvergenz.
- \(r>1\) ⇒ Divergenz.
- \(r=1\) ⇒ keine Aussage.
Leibniz-Kriterium (alternierende Reihen).
Für \(a_n\ge 0\) gilt:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n \ \text{konvergiert, falls}
\]
- \((a_n)\) monoton fallend ist,
- \(a_n\to 0\).
Beispiel (Leibniz).
\[
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}
\]
konvergiert (bedingt), weil \(\frac1n\) monoton fallend ist und \(\frac1n\to 0\).
11. Typische Klausur-Mindsets
Mindset 1: „Erst den Typ erkennen“
- Geometrisch? → sofort Formel.
- Teleskop? → umformen \(b_k-b_{k+1}\).
- Alternierend? → Leibniz.
- Fakultäten/Exponential? → Quotient/Wurzel.
- Potenz \(1/n^p\)? → Vergleich mit p-Reihe (falls behandelt).
Mindset 2: „Absolute Konvergenz zuerst“
Wenn in der Aufgabe „absolut“ steht oder Beträge natürlich auftreten:
prüfe \(\sum|a_n|\) mit Vergleich/Quotient/Wurzel.
PDF Übungen
Blatt 1