Matrizen und Gleichungssysteme
Theoretische Grundlagen zu Matrizen, Operationen, Rechenregeln, linearen Gleichungssystemen und homogenen Systemen (ohne Gauß-Verfahren).
1. Definitionen
Definition. Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen:
\[
A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{m \times n}, \quad i = 1,\dots,m, j=1,\dots,n.
\]
Zeilenvektoren: \(1 \times n\), Spaltenvektoren: \(n \times 1\).
Definition. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit \(m\) Gleichungen und \(n\) Unbekannten kann in Matrixform geschrieben werden:
\[
A \mathbf{x} = \mathbf{b}, \quad
A \in \mathbb{R}^{m \times n},\
\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n},\
\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m}.
\]
2. Addition und Skalarmultiplikation
Für \(A,B\in\mathbb{R}^{m\times n}\) und \(\lambda\in\mathbb{R}\) gilt:
\[
(A+B)_{ij} = a_{ij}+b_{ij},\quad (\lambda A)_{ij} = \lambda a_{ij}.
\]
3. Matrixmultiplikation
Seien \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) und \(B\in\mathbb{R}^{n\times p}\). Dann gilt:
\[
(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk}, \quad AB \in \mathbb{R}^{m\times p}.
\]
Beispiel:
\[
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix},\
B = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 1 & 3\end{pmatrix}.
\]
Dann:
\[
AB = \begin{pmatrix}1*2+2*1 & 1*0+2*3 \\ 3*2+4*1 & 3*0+4*3\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}4 & 6 \\ 10 & 12\end{pmatrix}.
\]
4. Transponierte
Die Transponierte \(A^\top \in \mathbb{R}^{n \times m}\) einer Matrix \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) hat Einträge:
\[
(A^\top)_{ij} = a_{ji}.
\]
5. Wichtige Rechenregeln
- \((A+B)^\top = A^\top + B^\top\)
- \((\lambda A)^\top = \lambda A^\top\)
- \((AB)^\top = B^\top A^\top\)
- Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ: \(AB \neq BA\)
- Assoziativität: \((AB)C = A(BC)\)
- Distributivität: \(A(B+C)=AB+AC\)
6. Lineare Abbildungen & LGS
Eine Matrix \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) definiert eine lineare Abbildung \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) durch
\[
T(x) = A x.
\]
Beispiel LGS:
\[
\begin{cases}2x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
x = 2, y = 1.
\]
Matrixdarstellung:
\[
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\1 & -1\end{pmatrix},\quad
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\quad
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}.
\]
7. Homogene Systeme
Ein LGS \(A\mathbf{x}=0\) heißt homogen. Triviale Lösung: \(\mathbf{x}=0\).
Unendlich viele Lösungen, falls Spalten von \(A\) linear abhängig sind.
\[
\begin{cases}x+y=0\\2x+2y=0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad x=t, y=-t, t\in\mathbb{R}.
\]
8. Rang & Lösbarkeit
Ein LGS \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) ist genau dann lösbar, wenn
\[
\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|\mathbf{b}).
\]
Ist \(\operatorname{rang}(A) = n\), Lösung eindeutig; ist \(\operatorname{rang}(A) < n\), unendlich viele Lösungen.
9. Zusammenfassung & Rechenhinweise
- Matrizenoperationen prüfen immer die Dimensionen.
- Transponierte, Assoziativität, Distributivität beachten.
- Lineare Abbildungen und LGS können ohne Gauß gelöst werden für kleine Systeme.
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