Hessesche Normalform (HNF)

Definition, Konstruktionen und Standardaufgaben: HNF aus Koordinatenform, aus Punkten, aus Parameterform, Abstand Punkt–Ebene, Lage eines Punktes und Abstand paralleler Ebenen. Viele gelöste Beispiele.

1. Definition

Eine Ebene \(E\subset\mathbb{R}^3\) hat eine Normalenvektor \(n\in\mathbb{R}^3\) und kann in der Hesseschen Normalform (HNF) geschrieben werden als \[ \frac{1}{\|n\|}\,\langle n \mid x \rangle \;=\; \delta, \] wobei \( \langle n \mid x \rangle = n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3\) das Skalarprodukt ist, \(\|n\|\) die Norm von \(n\) und \(\delta\in\mathbb{R}\) die rechte Seite (Skalar).

2. HNF aus Koordinatenform

Gegeben eine Ebene in Koordinatenform \[ a x_1 + b x_2 + c x_3 = e, \] ist ein Normalenvektor \(n = (a,b,c)^\top\). Die HNF erhält man durch Normierung: \[ \frac{1}{\|n\|}(a x_1 + b x_2 + c x_3) = \frac{e}{\|n\|}. \]
Beispiel (Aufgabe 1).
Gegeben: \(E: 2x_1 - 3x_2 + 6x_3 = 14\). Normalenvektor \(n=(2,-3,6)^\top\). Norm: \(\|n\|=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\). HNF: \[ \frac{1}{7}(2x_1-3x_2+6x_3)=\frac{14}{7}=2. \]

3. HNF aus drei Punkten

Gegeben drei nicht kollineare Punkte \(P,Q,R\). Richtungsvektoren der Ebene: \[ \overrightarrow{PQ}=Q-P,\quad \overrightarrow{PR}=R-P. \] Ein Normalenvektor ist das Kreuzprodukt \[ n = \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}. \] Anschließend normieren und \( \delta = \frac{\langle n \mid P\rangle}{\|n\|} \).
Beispiel (Aufgabe 2).
\(P(1,0,1),\,Q(2,1,3),\,R(0,-1,2)\). \[ \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}. \] Kreuzprodukt: \[ n=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}. \] Norm \(\|n\|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\). Konstante: \[ \delta = \frac{\langle n \mid P\rangle}{\|n\|} = \frac{1\cdot1 + (-1)\cdot0 + 0\cdot1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \] HNF: \[ \frac{1}{\sqrt{2}}(x_1 - x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

4. HNF aus Parameterform

Gegeben die Parameterform \[ x = p + \lambda u + \mu v, \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}, \] mit Richtungsvektoren \(u,v\). Normalenvektor: \[ n = u \times v. \] Dann HNF wie oben: \(\frac{1}{\|n\|}\langle n \mid x \rangle = \frac{\langle n \mid p \rangle}{\|n\|}\).
Beispiel (Aufgabe 6).
Gegeben \[ x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} + \mu\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}. \] Kreuzprodukt: \[ n=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-6\\2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}. \] Norm \(\|n\|=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\). Konstante \(d=\langle n \mid p\rangle = 2\cdot1 + (-3)\cdot0 + 1\cdot1 = 3\). HNF: \[ \frac{1}{\sqrt{14}}(2x_1-3x_2+x_3) = \frac{3}{\sqrt{14}}. \]

5. Abstand Punkt–Ebene

Für einen Punkt \(A\in\mathbb{R}^3\) und Ebene in HNF \[ \frac{1}{\|n\|}\langle n \mid x \rangle = \delta \] gilt der Abstand \[ d(A,E) = \left| \frac{1}{\|n\|}\langle n \mid A \rangle - \delta \right| \] (Betrag; Vorzeichen gibt Lage relativ zur Normalen an).
Beispiel (Aufgabe 3).
Gegeben: \(E: \frac{1}{5}(3x_1 + 4x_3)=1\) und \(A(1,2,-1)\). Einsetzen: \[ \frac{1}{5}(3\cdot 1 + 4\cdot(-1)) - 1 = \frac{1}{5}(3-4)-1 = -\frac{1}{5} - 1 = -\frac{6}{5}. \] Abstand: \(d(A,E)=\left| -\frac{6}{5} \right| = \frac{6}{5}.\)

6. Lage eines Punktes zur Ebene

Berechne den Ausdruck \(s = \frac{1}{\|n\|}\langle n \mid A\rangle - \delta\). \begin{itemize}
  • \(s=0\) ⇔ \(A\) liegt auf \(E\).
  • \(s>0\) ⇔ \(A\) liegt auf der Seite in Richtung \(n\).
  • \(s<0\) ⇔ \(A\) liegt auf der entgegengesetzten Seite (Richtung \(-n\)).
    • Beispiel (Aufgabe 5).
    \(E: \tfrac{1}{3}(x_1+2x_2-2x_3)=1\), \(B(2,1,3)\). Einsetzen: \[ \tfrac{1}{3}(2 + 2\cdot1 - 2\cdot3) = \tfrac{1}{3}(-2) = -\tfrac{2}{3} < 1. \] Also liegt \(B\) nicht auf \(E\); da der Wert kleiner als \(\delta=1\) ist, liegt \(B\) auf der Seite, in die \(-n\) zeigt.

    7. Schnitt Gerade–Ebene

    Gegeben Gerade \(g: x = p + \lambda v\) und Ebene in HNF. Setze die Geradengleichung in die HNF ein und löse nach \(\lambda\). \[ \frac{1}{\|n\|}\langle n \mid (p + \lambda v)\rangle = \delta. \] Daraus folgt \[ \lambda = \frac{\|n\|\delta - \langle n \mid p\rangle}{\langle n \mid v\rangle}, \] falls \(\langle n \mid v\rangle \neq 0\). (Falls \(\langle n \mid v\rangle = 0\): Gerade parallel zur Ebene; entweder keine oder unendlich viele Schnittpunkte.)
    Beispiel (Aufgabe 7).
    \(g: x = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}\), \(E: \frac{1}{\sqrt{6}}(2x_1 + x_2 - x_3) = 0\). Einsetzen: \[ \frac{1}{\sqrt{6}}(2(1+3\lambda) + (-1) - (2-\lambda)) = 0. \] Vereinfachen: \(7\lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \tfrac{1}{7}\). Schnittpunkt: \[ S = \begin{pmatrix}1+\tfrac{3}{7}\\ -1 \\ 2 - \tfrac{1}{7}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{10}{7}\\ -1 \\ \tfrac{13}{7}\end{pmatrix}. \]

    8. Abstand paralleler Ebenen

    Für zwei parallele Ebenen mit gleicher Normalenrichtung \(n\): \[ E: \langle n \mid x \rangle = e,\quad F: \langle n \mid x \rangle = f, \] beträgt der Abstand \[ d(E,F) = \frac{|e - f|}{\|n\|}. \] (Für HNF mit normiertem \(n/\|n\|\) ist dies \(|\delta_E - \delta_F|\).)
    Beispiel (Aufgabe 8).
    \(E: x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 6,\; F: x_1 - 2x_2 + 2x_3 = -4.\) Normalenvektor \(n=(1,-2,2)^\top\), \(\|n\|=\sqrt{1+4+4}=3\). Abstand: \[ d(E,F)=\frac{|6 - (-4)|}{\|n\|} = \frac{10}{3}. \]

    9. Hinweise & typische Fehler

    PDF Übungen

    Blatt 1

    Blatt 2