Eigenwerte und Eigenvektoren

Dieses Kapitel erklärt Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume sowie algebraische und geometrische Vielfachheiten. Ziel ist, Klausuraufgaben wie in den Altklausuren systematisch lösen zu können: Eigenwerte finden, Eigenräume berechnen, Vielfachheiten bestimmen und Diagonalisierbarkeit prüfen.

1. Motivation (warum Eigenwerte?)

Eine Matrix \(A\) beschreibt eine lineare Abbildung \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\), \(T(x)=Ax\). In der Regel werden Vektoren durch \(A\) in Richtung und Länge verändert. Es gibt jedoch spezielle Richtungen, die nur gestreckt/gestaucht werden: das sind Eigenrichtungen.

Definition (Eigenwert, Eigenvektor). Sei \(A\in K^{n\times n}\) (meist \(K=\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\)). Eine Zahl \(\lambda\in K\) heißt Eigenwert von \(A\), wenn es einen Vektor \(v\neq 0\) gibt mit \[ Av=\lambda v. \] Dann heißt \(v\) ein Eigenvektor zu \(\lambda\).

Merksatz. \(Av=\lambda v\) bedeutet: \(v\) bleibt in seiner Richtung erhalten, nur der Faktor (Streckung) ist \(\lambda\). Bei \(\lambda=0\) wird die Richtung auf 0 zusammengequetscht.

2. Eigenraum als Kern

Die Gleichung \(Av=\lambda v\) kann man umformen: \[ Av-\lambda v = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (A-\lambda I)v=0. \] Das ist ein homogenes lineares Gleichungssystem.

Definition (Eigenraum). Für einen Eigenwert \(\lambda\) heißt \[ V(\lambda)=\ker(A-\lambda I)=\{v\in K^n \mid (A-\lambda I)v=0\} \] der Eigenraum zu \(\lambda\). Er enthält alle Eigenvektoren zu \(\lambda\) (und zusätzlich den Nullvektor).

Satz. \(\lambda\) ist genau dann Eigenwert von \(A\), wenn \[ \det(A-\lambda I)=0. \] Denn \((A-\lambda I)v=0\) hat genau dann eine nichttriviale Lösung \(v\neq 0\), wenn \(A-\lambda I\) nicht invertierbar ist.

3. Charakteristisches Polynom

Definition. Das charakteristische Polynom von \(A\) ist \[ \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I). \] Die Eigenwerte sind die Nullstellen von \(\chi_A\).

Prüfungswissen. Für \(n\times n\)-Matrizen ist \(\chi_A\) ein Polynom vom Grad \(n\). Die Summe der algebraischen Vielfachheiten aller Eigenwerte ist immer \(n\).

4. Algebraische und geometrische Vielfachheit

Algebraische Vielfachheit \(e_\lambda\). Ist \(\lambda\) Nullstelle von \(\chi_A\), dann ist \(e_\lambda\) die Ordnung dieser Nullstelle: \[ \chi_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^{e_{\lambda_0}}\cdot p(\lambda),\quad p(\lambda_0)\neq 0. \]

Geometrische Vielfachheit \(d_\lambda\). \[ d_\lambda=\dim V(\lambda)=\dim\ker(A-\lambda I). \] Sie ist die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zum Eigenwert \(\lambda\).

Satz (Wichtige Ungleichung). Für jeden Eigenwert gilt \[ 1 \le d_\lambda \le e_\lambda. \]

Typischer Klausurfehler. Wenn \(\lambda\) doppelt im Polynom vorkommt (\(e_\lambda=2\)), heißt das nicht, dass es automatisch zwei unabhängige Eigenvektoren gibt. Man muss \(d_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)\) wirklich ausrechnen.

5. Diagonalisierbarkeit (der zentrale Check)

In Klausuren kommt sehr häufig die Frage: „Ist die Matrix diagonalisierbar?“ Das hängt direkt mit den Eigenräumen zusammen.

Satz (Kriterium). Eine Matrix \(A\in K^{n\times n}\) ist über \(K\) diagonalisierbar genau dann, wenn es \(n\) linear unabhängige Eigenvektoren gibt. Äquivalent: \[ \sum_{\lambda\ \text{Eigenwert}} d_\lambda = n. \]

Diagonalform. Ist \(A\) diagonalisierbar, gibt es eine invertierbare Matrix \(S\) (Spalten: Eigenvektoren) und eine Diagonalmatrix \(D\) (Eigenwerte auf der Diagonale) mit \[ A = S D S^{-1}. \]

Warum ist das hilfreich? Potenzen werden einfach: \[ A^k = S D^k S^{-1},\qquad D^k=\mathrm{diag}(\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k). \] Das taucht oft bei Rekursionen, Dynamik und Iterationen auf.

6. Standard-Algorithmus: So löst du Altklausur-Aufgaben

Rezept (immer gleich).

\(\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)\) berechnen.
Eigenwerte als Nullstellen finden, algebraische Vielfachheiten \(e_\lambda\) ablesen.
Für jeden Eigenwert \(\lambda\): Eigenraum \(V(\lambda)=\ker(A-\lambda I)\) berechnen.
Geometrische Vielfachheit \(d_\lambda=\dim V(\lambda)\) bestimmen.
Optional: Diagonalisierbarkeit prüfen über \(\sum d_\lambda=n\).
Optional: Diagonalisierung \(A=SDS^{-1}\) aufbauen (falls gefragt).

Wenn du schnell sein willst: Bei vielen Klausurmatrizen ist \(\det(A-\lambda I)\) wegen Struktur schnell:

Dreiecksmatrix → Produkt der Diagonaleinträge.
Blockmatrix → Determinante ist Produkt der Block-Determinanten (wenn passend angeordnet).
Viele Nullen → Laplace-Entwicklung entlang einer Nullzeile/-spalte.

7. Beispiele (klausurtypisch)

Beispiel 1 — Dreiecksmatrix (Eigenwerte sofort).
Sei \[ A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \] Dann ist \(A-\lambda I\) wieder obere Dreiecksmatrix und \[ \chi_A(\lambda)= (2-\lambda)(1-\lambda)(-1-\lambda). \] Also Eigenwerte: \(\lambda=2,1,-1\) (jeweils \(e_\lambda=1\)).
Eigenräume bekommst du durch Lösen von \((A-\lambda I)v=0\).

Beispiel 2 — Blockstruktur wie in Altklausuren (schneller als volle Determinante).
Sei \[ A=\begin{pmatrix} 7&0&0&6\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 6&0&0&7 \end{pmatrix}. \] Die Koordinaten \(2\) und \(3\) liefern sofort Eigenwert \(1\) (weil \(Ae_2=e_2\), \(Ae_3=e_3\)).
Der interessante Teil ist der \(2\times2\)-Block \[ B=\begin{pmatrix}7&6\\6&7\end{pmatrix}. \] \[ \chi_B(\lambda)=\det(B-\lambda I)=(7-\lambda)^2-36=(1-\lambda)(13-\lambda). \] Insgesamt folgt \(\chi_A(\lambda)=(1-\lambda)^2\cdot(1-\lambda)(13-\lambda)=(1-\lambda)^3(13-\lambda)\).
Daraus: \(e_1=3\), \(e_{13}=1\). Die geometrischen Vielfachheiten erhält man aus \(\ker(A-\lambda I)\).

Beispiel 3 — Unterschied zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit.
Angenommen \(\chi_A(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+1)^2\). Dann ist \(e_{-1}=2\).
Trotzdem kann \(d_{-1}\) entweder \(1\) oder \(2\) sein:

Wenn \(\dim\ker(A+I)=2\), dann \(d_{-1}=2\) und der Eigenwert liefert zwei unabhängige Eigenvektoren.
Wenn \(\dim\ker(A+I)=1\), dann \(d_{-1}=1\) und es fehlt ein Eigenvektor → nicht diagonalisierbar.

In Klausuren wird genau dieser Unterschied oft abgefragt.

8. Wie berechnet man Eigenräume zuverlässig?

Für jedes \(\lambda\) löst du das homogene System \((A-\lambda I)v=0\). Das bedeutet: Gauß-Algorithmus / Zeilenumformungen → freie Variablen → Parameterdarstellung.

Schema (Eigenraum).

Matrix \(A-\lambda I\) bilden.
Mit Gauß auf Zeilenstufenform bringen.
Freie Variablen als Parameter setzen (\(s,t,\dots\)).
Lösungsvektor als Linearkombination schreiben: \[ v = s v^{(1)} + t v^{(2)} + \dots \]
Die Anzahl der Parameter ist \(d_\lambda\).

Mini-Check. Wenn du \(k\) freie Variablen hast, dann ist \(\dim\ker(A-\lambda I)=k\). Das ist genau die geometrische Vielfachheit.

9. Schnelltests und Invarianten (häufige Klausurtricks)

Spur: \(\mathrm{tr}(A)=\sum \lambda_i\) (mit Vielfachheiten).
Determinante: \(\det(A)=\prod \lambda_i\) (mit Vielfachheiten).
Invertierbarkeit: \(A\) invertierbar \(\Leftrightarrow 0\) ist kein Eigenwert \(\Leftrightarrow \det(A)\neq 0\).
Orthonormale Eigenvektoren: Bei symmetrischen Matrizen (über \(\mathbb{R}\)) kann man orthonormal diagonalieren.

Achtung. Spur/Determinante helfen beim Prüfen (Plausibilität), ersetzen aber nicht das Berechnen der Eigenräume, wenn geometrische Vielfachheiten oder Diagonalisierbarkeit gefragt sind.

10. Typische Aufgabenformen aus Altklausuren (und wie du sie angehst)

Typ A: „Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenräume“
→ Rezept aus Abschnitt 6, Eigenräume per Gauß.

Typ B: „Bestimmen Sie algebraische und geometrische Vielfachheiten“
→ \(e_\lambda\) aus \(\chi_A\), \(d_\lambda\) aus \(\dim\ker(A-\lambda I)\).

Typ C: „Ist \(A\) diagonalisierbar?“
→ Prüfe \(\sum d_\lambda=n\). Falls ja: \(S\) aus Eigenvektoren bauen, \(D\) diagonal mit Eigenwerten.

Typ D: „Berechnen Sie \(A^k\)“ oder Rekursionen
→ Wenn diagonalisierbar: \(A=SDS^{-1}\), dann \(A^k=SD^kS^{-1}\).

11. Häufige Fehler (und wie du sie vermeidest)

Fehler 1: \(\det(A-\lambda I)\) falsch (Vorzeichen, Rechenfehler).
Tipp: nutze Struktur (Dreieck, Block, Laplace) statt „blind“ auszumultiplizieren.
Fehler 2: Aus \(e_\lambda=2\) automatisch \(d_\lambda=2\) schließen.
Tipp: \(d_\lambda\) immer über den Kern bestimmen.
Fehler 3: Eigenvektoren falsch normieren/Parameter vergessen.
Tipp: Eigenraum als Linearkombination mit Parametern schreiben.
Fehler 4: „0“ als Eigenvektor zulassen.
Tipp: Eigenvektor muss \(v\neq 0\) sein, aber Eigenraum enthält 0.