Diagonalisierbarkeit und symmetrische Matrizen

Dieses Kapitel behandelt die Diagonalisierbarkeit von Matrizen, das zentrale Kriterium über Eigenräume sowie den Spezialfall symmetrischer Matrizen mit dem Spektralsatz. Ziel: typische Altklausur-Aufgaben sicher lösen.

1. Diagonalisierbarkeit – Grundidee

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie in einer geeigneten Basis als Diagonalmatrix dargestellt werden kann.

Definition (Diagonalisierbarkeit). Eine Matrix \(A\in K^{n\times n}\) heißt diagonalisierbar über \(K\), wenn es eine invertierbare Matrix \(S\) und eine Diagonalmatrix \(D\) gibt mit \[ A = S D S^{-1}. \]
Bedeutung. In der Basis der Spalten von \(S\) wirkt \(A\) nur noch durch Multiplikation mit den Eigenwerten.

2. Zusammenhang mit Eigenvektoren

Zentrales Kriterium. Eine Matrix \(A\in K^{n\times n}\) ist genau dann diagonalisierbar, wenn es \(n\) linear unabhängige Eigenvektoren gibt.
Sind \(v_1,\dots,v_n\) linear unabhängige Eigenvektoren zu Eigenwerten \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\), dann gilt \[ S = (v_1 \ \vert \ \dots \ \vert \ v_n), \qquad D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n), \] und damit \[ A = S D S^{-1}. \]
Merksatz. Diagonalisieren heißt:

3. Rolle der Vielfachheiten

Diagonalisierbarkeits-Kriterium über Vielfachheiten. \(A\) ist diagonalisierbar genau dann, wenn für alle Eigenwerte \(\lambda\) gilt: \[ d_\lambda = e_\lambda. \] Dabei ist
Wichtig. Wenn für einen Eigenwert gilt \(d_\lambda < e_\lambda\), dann ist die Matrix nicht diagonalisierbar.

4. Schritt-für-Schritt-Algorithmus (Klausur)

Rezept.
  1. Charakteristisches Polynom \(\chi_A(\lambda)\) bestimmen.
  2. Eigenwerte und algebraische Vielfachheiten \(e_\lambda\) ablesen.
  3. Eigenräume \(V(\lambda)=\ker(A-\lambda I)\) berechnen.
  4. Geometrische Vielfachheiten \(d_\lambda\) bestimmen.
  5. Prüfen: gilt \(\sum d_\lambda = n\)?
  6. Falls ja: Matrix \(S\) aus Eigenvektoren bilden und \(D\) aufstellen.

5. Beispiel – nicht diagonalisierbar

Sei \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \] \[ \chi_A(\lambda)=(1-\lambda)^2. \] Also \(e_1=2\). Berechne \(\ker(A-I)\): \[ A-I=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \] Daraus folgt \(x_2=0\), \(x_1\) frei → \(d_1=1\).

Da \(d_1

6. Beispiel – diagonalisierbar

Sei \[ A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}. \] \[ \chi_A(\lambda)=(2-\lambda)(3-\lambda). \] Zwei verschiedene Eigenwerte ⇒ automatisch zwei unabhängige Eigenvektoren. Damit ist \(A\) diagonalisierbar.
Satz. Hat eine \(n\times n\)-Matrix \(n\) paarweise verschiedene Eigenwerte, dann ist sie diagonalisierbar.

7. Symmetrische Matrizen

Definition. Eine Matrix \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) heißt symmetrisch, wenn \[ A^T = A. \]
Spektralsatz. Jede symmetrische Matrix \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\)
  • besitzt nur reelle Eigenwerte,
  • ist diagonalisierbar,
  • besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
Es existiert eine orthogonale Matrix \(Q\) mit \[ A = Q D Q^T. \] Dabei ist \(Q^T=Q^{-1}\).
Warum ist das stark? Orthogonale Diagonalisierung vereinfacht:
  • Quadriken
  • Hessesche Normalform
  • Extremwertaufgaben
  • Hauptachsentransformation

8. Orthonormale Eigenvektoren

Satz. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix sind orthogonal.
Sei \[ A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}. \] \[ \chi_A(\lambda)=(2-\lambda)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3. \] Eigenwerte: \(\lambda_1=1,\ \lambda_2=3\).

Die zugehörigen Eigenvektoren sind orthogonal. Nach Normierung erhält man eine orthonormale Basis.

9. Prüfungsrelevante Spezialfälle

  • Symmetrische Matrizen → immer diagonalisierbar.
  • Obere/untere Dreiecksmatrizen → Eigenwerte = Diagonaleinträge.
  • Ein Eigenwert mit voller geometrischer Vielfachheit → diagonalisierbar.
Typischer Fehler. Nicht jede diagonalisierbare Matrix ist symmetrisch. Symmetrie ist eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung.

10. Zusammenfassung

Kernpunkte.
  • Diagonalisierbar ⇔ genügend Eigenvektoren.
  • \(d_\lambda=e_\lambda\) für alle \(\lambda\).
  • Symmetrische Matrizen sind orthogonal diagonalisierbar.
  • Unterschiedliche Eigenwerte ⇒ automatisch diagonalisierbar.