Determinanten und inverse Matrizen

Determinanten, Invertierbarkeit und Berechnung der Inversen – zentraler Stoff für HM1.

1. Quadratische Matrizen

Eine Matrix heißt quadratisch, wenn sie gleich viele Zeilen wie Spalten besitzt, also \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\).

Nur quadratische Matrizen können invertierbar sein.
Beispiel: \[ A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times2} \quad\text{(quadratisch)} \] \[ B=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times3} \quad\text{(nicht quadratisch, keine Inverse)} \]

2. Determinante und Invertierbarkeit

Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \[ \det(A)\neq 0. \] Ist \(\det(A)=0\), so besitzt \(A\) keine Inverse.
Beispiel: \[ A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A)=0 \] Die Matrix ist nicht invertierbar.

3. Inverse einer \(2\times2\)-Matrix

Für \[ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \quad\text{mit}\quad \det(A)=ad-bc\neq0 \] gilt: \[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} \]
Beispiel: \[ A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A)=1 \] \[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]

4. Inverse einer \(3\times3\)-Matrix

Für \(3\times3\)-Matrizen existiert keine einfache Formel. Die Inverse wird mit dem Gauss-Jordan-Verfahren berechnet: \[ (A \mid I_3)\;\longrightarrow\;(I_3 \mid A^{-1}) \] durch elementare Zeilenumformungen.
Beispiel: \[ A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix} \] Man bildet: \[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&1&0&1&0&0\\ 0&1&1&0&1&0\\ 1&0&1&0&0&1 \end{array}\right) \] und führt Zeilenumformungen bis links \(I_3\) steht.

5. Inverse für \(n\times n\)-Matrizen (\(n\ge 3\))

Für jede invertierbare Matrix \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) wird die Inverse berechnet durch: \[ (A \mid I_n)\;\xrightarrow{\text{Gauss}}\;(I_n \mid A^{-1}) \] Es gibt keine geschlossene Formel für \(n\ge3\).
Beispiel: Für eine \(4\times4\)-Matrix wird analog verfahren: \[ (A \mid I_4)\rightarrow(I_4 \mid A^{-1}) \] Das Verfahren ist identisch, nur rechenintensiver.

6. Wichtige Zusammenhänge

Für eine quadratische Matrix \(A\) sind äquivalent:
Beispiel: Hat \(A\) zwei proportionale Zeilen, dann sind sie linear abhängig ⇒ \(\det(A)=0\) ⇒ keine Inverse.

7. Typische Klausurhinweise (HM1)