Geschwindigkeit
In diesem Kapitel wird die physikalische Größe Geschwindigkeit eingeführt.
Grundlage ist der zuvor behandelte Ortsvektor \(\vec r(t)\).
Ziel ist es, präzise zu verstehen,
- was Geschwindigkeit physikalisch bedeutet,
- wie sie mathematisch definiert ist,
- wie sie mit Ableitung und Integral zusammenhängt,
- und wie sie mit Position und Beschleunigung verknüpft ist.
1. Idee der Geschwindigkeit (anschaulich)
Die Position \(\vec r(t)\) sagt uns:
Wo befindet sich ein Punkt zu einer bestimmten Zeit?
Die Geschwindigkeit beantwortet eine andere Frage:
Wie schnell und in welche Richtung ändert sich diese Position?
Geschwindigkeit beschreibt also nicht die Lage selbst,
sondern die zeitliche Änderung der Lage.
2. Mittlere Geschwindigkeit
Definition (mittlere Geschwindigkeit).
Die mittlere Geschwindigkeit in einem Zeitintervall \([t_1,t_2]\) ist definiert als
\[
\overline{\vec v}
=
\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}
=
\frac{\vec r(t_2)-\vec r(t_1)}{t_2-t_1}.
\]
Diese Definition sagt:
„Wie stark ändert sich der Ortsvektor im Durchschnitt pro Zeit?“
Wichtig:
Die mittlere Geschwindigkeit ist ein Vektor.
Sie besitzt Betrag und Richtung.
3. Momentane Geschwindigkeit
In der Physik interessiert man sich meist nicht für Durchschnittswerte,
sondern für den exakten Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Deshalb betrachtet man den Grenzfall:
Das Zeitintervall wird immer kleiner.
Definition (momentane Geschwindigkeit).
\[
\vec v(t)
=
\lim_{\Delta t\to 0}
\frac{\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)}{\Delta t}.
\]
Dieser Grenzübergang ist genau die mathematische Definition einer Ableitung.
4. Geschwindigkeit als Ableitung
Die momentane Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung des Ortsvektors:
\[
\vec v(t)=\frac{d\vec r(t)}{dt}.
\]
Das bedeutet:
Geschwindigkeit ist die Ableitung der Position nach der Zeit.
In Komponenten:
\[
\vec r(t)=
\begin{pmatrix}
x(t)\\ y(t)\\ z(t)
\end{pmatrix}
\quad\Rightarrow\quad
\vec v(t)=
\begin{pmatrix}
\frac{dx}{dt}\\[4pt]
\frac{dy}{dt}\\[4pt]
\frac{dz}{dt}
\end{pmatrix}.
\]
5. Punktnotation (physikalische Schreibweise)
In der Physik verwendet man häufig die sogenannte Punktnotation.
\[
\dot{\vec r}(t) := \frac{d\vec r(t)}{dt},
\qquad
\dot x(t) := \frac{dx(t)}{dt}.
\]
Damit gilt:
\[
\vec v(t)=\dot{\vec r}(t),
\qquad
v_x(t)=\dot x(t),\;
v_y(t)=\dot y(t),\;
v_z(t)=\dot z(t).
\]
Der Punkt über der Größe bedeutet immer:
„Ableitung nach der Zeit“.
6. Einheit der Geschwindigkeit
Aus der Definition
\[
\vec v=\frac{d\vec r}{dt}
\]
folgt für die Einheit:
\[
[\vec v]=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
\]
Merksatz.
Jede Geschwindigkeit hat die SI-Einheit
\[
\mathrm{m/s}.
\]
Andere Einheiten (z.B. km/h) müssen umgerechnet werden.
7. Betrag der Geschwindigkeit
Der Betrag der Geschwindigkeit (Skalargeschwindigkeit) ist
\[
v(t)=\lVert\vec v(t)\rVert.
\]
In Komponenten:
\[
v(t)=\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2+\dot z(t)^2}.
\]
Der Betrag beschreibt „wie schnell“, nicht „in welche Richtung“.
8. Integration der Geschwindigkeit (Bezug zur Position)
Da Geschwindigkeit die Ableitung der Position ist,
erhält man die Position durch Integration der Geschwindigkeit.
\[
\vec r(t)
=
\vec r(t_0)
+
\int_{t_0}^{t}\vec v(\tau)\,d\tau.
\]
Physikalisch bedeutet das:
„Die neue Position ergibt sich aus der Anfangsposition
plus der aufsummierten Geschwindigkeitsänderung über die Zeit.“
9. Zusammenhang mit Beschleunigung (Ausblick)
Die Geschwindigkeit selbst kann sich ebenfalls ändern.
Diese Änderung wird durch die Beschleunigung beschrieben.
\[
\vec a(t)=\frac{d\vec v(t)}{dt}=\ddot{\vec r}(t).
\]
Wichtig für die Struktur:
- Position → Ableitung → Geschwindigkeit
- Geschwindigkeit → Ableitung → Beschleunigung
- Beschleunigung → Integration → Geschwindigkeit
- Geschwindigkeit → Integration → Position
10. Zentrale Zusammenfassung
- Geschwindigkeit beschreibt die zeitliche Änderung der Position.
- Sie ist definiert als \(\Delta\vec r/\Delta t\) bzw. \(d\vec r/dt\).
- In der Physik schreibt man \(\vec v=\dot{\vec r}\).
- Die Einheit ist immer \(\mathrm{m/s}\).
- Integration der Geschwindigkeit liefert die Position.