Dieses Kapitel behandelt die Erdbeschleunigung \(g\) und ihre Rolle in der Kinematik
(Bewegung ohne Reibung, ohne Luftwiderstand, „idealisiert“).
Der wichtigste Gedanke ist:
Beschleunigung ist eine zeitliche Änderungsrate.
Deshalb legen wir besonderen Fokus auf die Abhängigkeit von der Zeit \(t\) und auf die Beziehungen
zwischen \(\vec a(t)\), \(\vec v(t)\) und \(\vec r(t)\) durch Ableitung und Integration.
1. Was bedeutet „Erdbeschleunigung“?
Definition (Erdbeschleunigung).
In der Nähe der Erdoberfläche erfährt ein frei fallender Körper (ohne Luftwiderstand) eine nahezu konstante
Beschleunigung nach unten:
\[
\vec a(t) = \vec g.
\]
Dabei ist der Betrag
\[
g \approx 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}.
\]
„Konstant“ bedeutet hier:
\(\vec g\) hängt (im idealisierten Modell) nicht von der Zeit ab, also \(\vec g(t)=\vec g\).
Gerade deshalb ist dieses Kapitel so wichtig: Wenn \(\vec a(t)\) konstant ist, werden die Zeitfunktionen besonders übersichtlich.
Diese Festlegung ist entscheidend. Viele Fehler entstehen, weil man \(+g\) einsetzt, obwohl „oben positiv“ gewählt wurde.
Wenn „unten positiv“ gewählt wird, ändern sich alle Vorzeichen konsistent. Wichtig ist: einheitlich bleiben.
3. Die Zeitkette: Beschleunigung → Geschwindigkeit → Position
Da Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit ist, und Geschwindigkeit die Ableitung der Position, gilt:
Das ist die zentrale „Zeit-Logik“ der Kinematik: Man kann aus \(a(t)\) durch zeitliches Aufsummieren (Integrale) \(v(t)\) und \(y(t)\) erhalten.
Und man kann durch Ableitungen aus \(y(t)\) wieder \(v(t)\) und \(a(t)\) gewinnen.
Jetzt kommt der Klassiker: Wir setzen \(a_y(t)=-g\) (konstant) und integrieren Schritt für Schritt.
Genau hier sieht man besonders klar, wie wichtig die Zeit \(t\) ist.
1. Schritt: Geschwindigkeit als Funktion der Zeit.
\[
v_y(t)=v_{y0}+\int_{0}^{t} (-g)\,d\tau
= v_{y0} - g t.
\]
(Hier ist \(v_{y0}=v_y(0)\).)
2. Schritt: Ort als Funktion der Zeit.
\[
y(t)=y_0+\int_{0}^{t} \big(v_{y0}-g\tau\big)\,d\tau
= y_0 + v_{y0}t - \frac12 g t^2.
\]
(Hier ist \(y_0=y(0)\).)
Merke (die drei Standardformeln bei konstanter Beschleunigung).
\[
a_y(t)=-g,
\qquad
v_y(t)=v_{y0}-gt,
\qquad
y(t)=y_0+v_{y0}t-\frac12 gt^2.
\]
5. Einheiten (und warum sie helfen)
Einheiten.
\[
[g]=\mathrm{m/s^2},\quad [v]=\mathrm{m/s},\quad [y]=\mathrm{m},\quad [t]=\mathrm{s}.
\]
Prüfe in Formeln:
\(gt\) hat Einheit \(\mathrm{m/s^2}\cdot\mathrm{s}=\mathrm{m/s}\) → passt zu Geschwindigkeit.
\(\tfrac12 gt^2\) hat Einheit \(\mathrm{m/s^2}\cdot\mathrm{s^2}=\mathrm{m}\) → passt zu Ort.
In Klausuren ist die Einheitenprüfung oft der schnellste Weg, einen Vorzeichen- oder Faktorfehler zu entdecken
(z.B. ob irgendwo fälschlich \(gt\) statt \(gt^2\) steht).
6. Übung 1 (vertikaler Wurf): Wann trifft der Ball den Boden?
Aufgabe 1 (Textbuch-Stil).
Ein Ball wird aus einer Höhe von \(1{,}0\,\mathrm{m}\) über dem Boden senkrecht nach oben geworfen.
Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt \(v_{0}=15\,\mathrm{m/s}\).
Luftwiderstand wird vernachlässigt, die Erdbeschleunigung sei \(g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\).
Frage: Nach welcher Zeit \(t\) berührt der Ball erstmals wieder den Boden (\(y=0\))?
Wir wählen „nach oben“ als positive Richtung. Dann gilt:
\[
a_y(t)=-g,\qquad v_y(t)=v_0-gt,\qquad y(t)=y_0+v_0t-\frac12gt^2.
\]
Hier sind:
\[
y_0=1\,\mathrm{m},\qquad v_0=15\,\mathrm{m/s}.
\]
Bodenbedingung.
Der Ball trifft den Boden, wenn
\[
y(t)=0.
\]
Also:
\[
0 = 1 + 15t - \frac12\cdot 9{,}81\, t^2.
\]
Das ist eine quadratische Gleichung in \(t\).
Wir schreiben:
\[
0 = 1 + 15t - 4{,}905\,t^2
\quad\Longleftrightarrow\quad
4{,}905\,t^2 - 15t - 1 = 0.
\]
Mit der Mitternachtsformel:
\[
t=\frac{15\pm\sqrt{15^2+4\cdot 4{,}905\cdot 1}}{2\cdot 4{,}905}.
\]
Physikalisch relevante Lösung.
Nur die positive Zeit ist sinnvoll:
\[
t=\frac{15+\sqrt{225+19{,}62}}{9{,}81}
\approx
3{,}12\,\mathrm{s}.
\]
Kontrolle (Zeit-Fokus):
Die maximale Höhe wird bei \(v_y(t)=0\) erreicht:
\[
0=v_0-gt \Rightarrow t_\text{max}=\frac{v_0}{g}\approx 1{,}53\,\mathrm{s}.
\]
Das ist kleiner als die Gesamtflugzeit \(3{,}12\,\mathrm{s}\) — das ist plausibel.
Skizze 1: Vertikaler Wurf mit \(\vec g\) nach unten
7. Übung 2 (Schrägwurf): Wurfweite in horizontaler Richtung
Aufgabe 2 (Textbuch-Stil).
Ein Ball wird aus einer Höhe von \(1{,}0\,\mathrm{m}\) über dem Boden mit der Anfangsgeschwindigkeit
\(v_0=15\,\mathrm{m/s}\) unter dem Abwurfwinkel \(\alpha=30^\circ\) über der Horizontalen geworfen.
Luftwiderstand wird vernachlässigt, die Erdbeschleunigung sei \(g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\).
Frage: Welche horizontale Strecke \(R\) (Wurfweite) legt der Ball bis zum Auftreffen auf dem Boden zurück?
Zentrale Idee: Zerlege die Anfangsgeschwindigkeit in Komponenten.
\[
v_{0x}=v_0\cos\alpha,\qquad v_{0y}=v_0\sin\alpha.
\]
Mit \(v_0=15\,\mathrm{m/s}\) und \(\alpha=30^\circ\) gilt:
\[
v_{0x}=15\cos 30^\circ\approx 12{,}99\,\mathrm{m/s},\qquad
v_{0y}=15\sin 30^\circ=7{,}5\,\mathrm{m/s}.
\]
Wichtig (Zeit steht im Zentrum).
Die horizontale Strecke ist
\[
R = v_{0x}\,t_\text{Boden}.
\]
Man braucht also zuerst die Flugzeit \(t_\text{Boden}\) aus der vertikalen Bewegung.
Jetzt horizontal:
\[
x(t)=x_0+v_{0x}\,t.
\]
Wir wählen \(x_0=0\) am Abwurfpunkt, dann ist die Wurfweite:
\[
R=v_{0x}\,t_\text{Boden}\approx 12{,}99\cdot 1{,}65\approx 21{,}5\,\mathrm{m}.
\]
Ergebnis.
\[
R \approx 21{,}5\,\mathrm{m}.
\]
Entscheidend war: Die Zeit \(t_\text{Boden}\) kommt aus der vertikalen Bewegung mit \(a_y=-g\).
Skizze 2: Schrägwurf mit Winkel \(\alpha\) und Zerlegung von \(\vec v_0\)
8. Kurz-Zusammenfassung (mit Zeit-Fokus)
\(\vec a(t)\) ist die zeitliche Änderungsrate von \(\vec v(t)\): \( \vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt} \).
Bei Erdbeschleunigung (idealisiert): \(a_y(t)=-g\) konstant.
Dann folgt durch Integration: \(v_y(t)=v_{0y}-gt\) und \(y(t)=y_0+v_{0y}t-\frac12gt^2\).
In Wurfaufgaben ist die Flugzeit meist der zentrale Schlüssel, weil \(R\) über \(R=v_{0x}\,t\) läuft.