Vektorielle Bewegung in drei Dimensionen

In diesem Kapitel fassen wir die Bewegung eines Punktes im Raum (3D) vollständig vektoriell zusammen. Wir beschreiben alles als Funktionen der Zeit \(t\):

Position \(\vec r(t)\), Geschwindigkeit \(\vec v(t)\), Beschleunigung \(\vec a(t)\).

Eine zentrale Idee (wie in euren Vorlesungsunterlagen): Alles wird relativ zum Ursprung beschrieben. Der Ortsvektor \(\vec r(t)\) ist immer der Pfeil vom Ursprung zum aktuellen Punkt.

1. Der Ortsvektor \(\vec r(t)\): Bewegung relativ zum Ursprung

Wir legen ein Koordinatensystem mit Ursprung \(O\) fest. Dann ist die Position des Punktes zu jeder Zeit \(t\) durch einen Vektor beschrieben:

Definition (Ortsvektor als Funktion der Zeit). \[ \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t)\\ y(t)\\ z(t) \end{pmatrix}. \] Der Vektor \(\vec r(t)\) zeigt vom Ursprung \(O=(0,0,0)\) zum Punkt \(P\).

Wichtig: \(\vec r(t)\) ist ein Vektor, also hat er Richtung und Betrag.
Die Funktionen \(x(t),y(t),z(t)\) sind die Komponenten (mit Einheit Meter).

Gleiche Information, andere Schreibweise (mit Einheitsvektoren). \[ \vec r(t)=x(t)\,\vec e_x + y(t)\,\vec e_y + z(t)\,\vec e_z. \]

Skizze: Ortsvektor \(\vec r(t)\) vom Ursprung zum Punkt

2. Bahnkurve und Parametrisierung

Wenn sich der Punkt bewegt, dann „zeichnet“ \(\vec r(t)\) eine Kurve im Raum: die Bahnkurve (Trajektorie).

Bahnkurve (qualitativ). \[ \{\vec r(t)\mid t\in I\} \] ist die Menge aller Punkte im (3D-)Raum, die im Zeitintervall \(I\) durchlaufen werden.

Das Wichtige ist: Die Bewegung ist vollständig beschrieben, wenn man \(x(t),y(t),z(t)\) kennt. Dann kennt man \(\vec r(t)\), und daraus folgen \(\vec v(t)\) und \(\vec a(t)\) durch Ableitung.

3. Geschwindigkeit \(\vec v(t)\): Ableitung der Position

Geschwindigkeit beschreibt, wie schnell und in welche Richtung sich die Position ändert. Mathematisch ist sie die zeitliche Ableitung von \(\vec r(t)\).

Definition (Geschwindigkeitsvektor). \[ \vec v(t)=\frac{d\vec r(t)}{dt}=\dot{\vec r}(t). \]

Komponentenform. \[ \vec v(t)= \begin{pmatrix} \dot x(t)\\ \dot y(t)\\ \dot z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{dx}{dt}\\[2pt] \frac{dy}{dt}\\[2pt] \frac{dz}{dt} \end{pmatrix}. \]

Geometrische Aussage. Der Vektor \(\vec v(t)\) liegt tangential an der Bahnkurve und zeigt in Bewegungsrichtung.

Einheit. Aus \([\vec r]=\mathrm{m}\) und \([t]=\mathrm{s}\) folgt \[ [\vec v]=\mathrm{m/s}. \]

4. Beschleunigung \(\vec a(t)\): Ableitung der Geschwindigkeit

Beschleunigung beschreibt, wie sich die Geschwindigkeit ändert (Betrag und/oder Richtung). Sie ist die zeitliche Ableitung von \(\vec v(t)\), also die zweite Ableitung von \(\vec r(t)\).

Definition (Beschleunigungsvektor). \[ \vec a(t)=\frac{d\vec v(t)}{dt}=\dot{\vec v}(t)=\ddot{\vec r}(t). \]

Komponentenform. \[ \vec a(t)= \begin{pmatrix} \ddot x(t)\\ \ddot y(t)\\ \ddot z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{d^2x}{dt^2}\\[2pt] \frac{d^2y}{dt^2}\\[2pt] \frac{d^2z}{dt^2} \end{pmatrix}. \]

Einheit. Aus \([\vec v]=\mathrm{m/s}\) folgt \[ [\vec a]=\mathrm{m/s^2}. \]

5. „Ableiten“ und „Integrieren“ als Beziehung zwischen \(\vec r(t)\), \(\vec v(t)\), \(\vec a(t)\)

In der Experimentalphysik tauchen diese Beziehungen ständig auf. Sie sind so wichtig, dass man sie wirklich auswendig können sollte — inklusive der Richtung (wer ist Ableitung wovon?).

Ableitungs-Kette. \[ \vec r(t)\xrightarrow{\ \frac{d}{dt}\ }\vec v(t)\xrightarrow{\ \frac{d}{dt}\ }\vec a(t). \]

Integral-Kette. \[ \vec a(t)\xrightarrow{\ \int dt\ }\vec v(t)\xrightarrow{\ \int dt\ }\vec r(t). \]

Geschwindigkeit aus Beschleunigung (Integralform). \[ \vec v(t)=\vec v(t_0)+\int_{t_0}^{t}\vec a(\tau)\,d\tau. \]

Position aus Geschwindigkeit (Integralform). \[ \vec r(t)=\vec r(t_0)+\int_{t_0}^{t}\vec v(\tau)\,d\tau. \]

Diese Formeln sind extrem praktisch, weil sie auch gelten, wenn \(\vec a(t)\) oder \(\vec v(t)\) nicht konstant sind. (Man muss dann nur das passende Integral ausrechnen.)

6. Häufige Schreibweisen (damit man Aufgaben sofort erkennt)

Ortsvektor: \[ \vec r(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}. \]
Geschwindigkeit: \[ \vec v(t)=\frac{d\vec r(t)}{dt}=\dot{\vec r}(t)=\begin{pmatrix}\dot x\\\dot y\\\dot z\end{pmatrix}. \]
Beschleunigung: \[ \vec a(t)=\frac{d\vec v(t)}{dt}=\ddot{\vec r}(t)=\begin{pmatrix}\ddot x\\\ddot y\\\ddot z\end{pmatrix}. \]
Einheiten: \[ [\vec r]=\mathrm{m},\qquad [\vec v]=\mathrm{m/s},\qquad [\vec a]=\mathrm{m/s^2}. \]

7. Beispiele (sehr typisch für 1. Semester)

Beispiel 1 — Direkt aus \(\vec r(t)\) ableiten.
Sei \[ \vec r(t)= \begin{pmatrix} 2t\\ t^2\\ 3 \end{pmatrix}\mathrm{m}. \] Dann ist \[ \vec v(t)=\dot{\vec r}(t)= \begin{pmatrix} 2\\ 2t\\ 0 \end{pmatrix}\mathrm{m/s}, \qquad \vec a(t)=\ddot{\vec r}(t)= \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}\mathrm{m/s^2}. \]

Man sieht hier sehr gut: Jede Komponente wird einfach separat abgeleitet.

Beispiel 2 — Aus \(\vec a(t)\) integrieren.
Sei \(\vec a(t)=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\mathrm{m/s^2}\) konstant und \(\vec v(t_0)=\vec 0\). Dann gilt \[ \vec v(t)=\vec v(t_0)+\int_{t_0}^{t}\vec a(\tau)\,d\tau = \begin{pmatrix} t-t_0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\mathrm{m/s}. \] Und anschließend \[ \vec r(t)=\vec r(t_0)+\int_{t_0}^{t}\vec v(\tau)\,d\tau. \]

(Für konkrete Zahlen muss man \(\vec r(t_0)\) kennen. Ohne Anfangsposition ist \(\vec r(t)\) nicht eindeutig.)

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