Beschleunigung

In diesem Kapitel wird die physikalische Größe Beschleunigung eingeführt. Die Idee ist sehr simpel:

Beschleunigung beschreibt, wie sich die Geschwindigkeit verändert.

Wichtig: Auch wenn der Name „Beschleunigung“ oft nach „schneller werden“ klingt, meint \(\vec a(t)\) allgemein jede Änderung der Geschwindigkeit: schneller werden, langsamer werden, oder Richtungsänderung (auch bei konstantem Betrag).

Wir verbinden außerdem die drei zentralen Funktionen: \[ \vec r(t)\quad\longrightarrow\quad \vec v(t)\quad\longrightarrow\quad \vec a(t) \] und zeigen typische Diagramme (Graphen), die in der Klausur ständig vorkommen.

1. Von Position zu Geschwindigkeit zu Beschleunigung

Die Kette der Ableitungen. \[ \vec v(t)=\frac{d\vec r(t)}{dt}=\dot{\vec r}(t), \qquad \vec a(t)=\frac{d\vec v(t)}{dt}=\ddot{\vec r}(t). \]

Merke:
Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Ortsvektors, Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortsvektors.

2. Mittlere Beschleunigung

Genau wie bei der Geschwindigkeit startet man mit einem Durchschnitt über ein Zeitintervall.

Definition (mittlere Beschleunigung). Für ein Zeitintervall \([t_1,t_2]\) ist die mittlere Beschleunigung definiert als \[ \overline{\vec a} = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} = \frac{\vec v(t_2)-\vec v(t_1)}{t_2-t_1}. \]

Diese Formel ist „Geschwindigkeit pro Zeit“: Wie stark ändert sich \(\vec v\) im Durchschnitt pro Sekunde?

3. Momentane Beschleunigung (Grenzwert) und Ableitung

Definition (momentane Beschleunigung). \[ \vec a(t) = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\vec v(t+\Delta t)-\vec v(t)}{\Delta t} = \frac{d\vec v(t)}{dt}. \]

Das ist wieder der gleiche Gedanke wie bei \(\vec v(t)\): aus dem Durchschnitt wird im Grenzfall die Ableitung.

4. Punktnotation

In der Physik schreibt man: \[ \vec v(t)=\dot{\vec r}(t), \qquad \vec a(t)=\dot{\vec v}(t)=\ddot{\vec r}(t). \] In 1D (Bewegung entlang einer Achse) gilt entsprechend: \[ v(t)=\dot x(t),\qquad a(t)=\dot v(t)=\ddot x(t). \]

5. Einheit der Beschleunigung

Aus \[ \vec a=\frac{d\vec v}{dt} \] folgt für die Einheit: \[ [\vec a]=\frac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{s}}=\mathrm{m/s^2}. \]

Merksatz. Beschleunigung hat in SI immer die Einheit \[ \mathrm{m/s^2}. \]

6. Integration: Von Beschleunigung zurück zu Geschwindigkeit und Position

Weil Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit ist, kann man die Geschwindigkeit durch Integration der Beschleunigung zurückgewinnen. Und weil Geschwindigkeit die Ableitung der Position ist, bekommt man Position durch noch eine Integration.

Geschwindigkeit aus Beschleunigung. \[ \vec v(t)=\vec v(t_0)+\int_{t_0}^{t}\vec a(\tau)\,d\tau. \]

Position aus Geschwindigkeit (oder aus Beschleunigung). \[ \vec r(t)=\vec r(t_0)+\int_{t_0}^{t}\vec v(\tau)\,d\tau. \] Setzt man \(\vec v(\tau)\) aus der ersten Formel ein, erhält man „zweifache Integration“ von \(\vec a\).

Merke (Ableitung ↔ Integral).

Ableiten: \(\vec r \to \vec v \to \vec a\)
Integrieren: \(\vec a \to \vec v \to \vec r\)

7. Was bedeutet Beschleunigung als Vektor?

Beschleunigung ist (wie Geschwindigkeit) ein Vektor. Das ist wichtig, weil ein Vektor sowohl Betrag als auch Richtung hat.

Wichtige Aussage. \[ \vec a(t)\neq \vec 0 \] bedeutet: Die Geschwindigkeit \(\vec v(t)\) ändert sich. Das kann bedeuten:

der Betrag \(\lVert\vec v\rVert\) ändert sich (schneller/langsamer),
oder die Richtung von \(\vec v\) ändert sich (Kurvenfahrt),
oder beides.

8. Graphen (Diagramme): r–t, v–t, a–t

In der Klausur sind Diagramme extrem wichtig. Hier sind drei typische Fälle mit den zentralen Zusammenhängen:
Steigung und Fläche.

Graph 1: \(v(t)\) konstant → \(a(t)=0\) und \(r(t)\) linear

Interpretation:

Konstantes \(v(t)\) bedeutet: \(a(t)=0\).
Wenn \(v(t)\) konstant ist, wächst \(r(t)\) linear (gerade Linie).

Graph 2: \(a(t)\) konstant → \(v(t)\) linear und \(r(t)\) gekrümmt

Interpretation:

Konstantes \(a(t)\) bedeutet: \(v(t)\) ändert sich gleichmäßig → Linie im \(v\)-\(t\)-Diagramm.
Wenn \(v(t)\) linear ist, ist \(r(t)\) gekrümmt (nicht linear).
Im \(v\)-\(t\)-Diagramm ist die Steigung gleich der Beschleunigung.

9. Steigung und Fläche: Die zwei Klausur-Regeln

Regel A: Steigung.

Steigung von \(r(t)\) ist \(v(t)\).
Steigung von \(v(t)\) ist \(a(t)\).

Formal: \[ \frac{dr}{dt}=v,\qquad \frac{dv}{dt}=a. \]

Regel B: Fläche (Integral).

Fläche unter \(a(t)\) ergibt \(\Delta v\).
Fläche unter \(v(t)\) ergibt \(\Delta r\) (bzw. in 1D \(\Delta x\)).

Formal: \[ \Delta v = \int a(t)\,dt,\qquad \Delta r = \int v(t)\,dt. \]

10. Kurze Beispiele

Beispiel 1 — mittlere Beschleunigung. Ein Körper hat \(v(t_1)=2\,\mathrm{m/s}\) und \(v(t_2)=8\,\mathrm{m/s}\) in \(\Delta t=3\,\mathrm{s}\). Dann: \[ \overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{8-2}{3}\,\mathrm{m/s^2}=2\,\mathrm{m/s^2}. \]

Beispiel 2 — Beschleunigung aus \(v(t)\) (Ableitung). Sei in 1D: \[ v(t)=3t+1\quad (\mathrm{m/s}). \] Dann: \[ a(t)=\frac{dv}{dt}=3\quad (\mathrm{m/s^2}). \]

Beispiel 3 — \(\Delta v\) aus \(a(t)\) (Integral). Sei \(a(t)=2\,\mathrm{m/s^2}\) konstant und \(v(t_0)=1\,\mathrm{m/s}\). Dann: \[ v(t)=v(t_0)+\int_{t_0}^{t}2\,d\tau =1+2(t-t_0)\quad(\mathrm{m/s}). \]

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