Position und Ortsvektor

Dieses Kapitel ist eine reine Einführung. Es erklärt, was mit der Position eines Punktes gemeint ist und wie man diese mithilfe von Vektoren beschreibt.
Es geht nicht um Bewegung, Geschwindigkeit oder Beschleunigung.

1. Was bedeutet „Position“?

In der Physik bedeutet Position:
Wo befindet sich ein Punkt im Raum?

Um diese Frage eindeutig beantworten zu können, brauchen wir:

einen Koordinatenursprung (Referenzpunkt)
ein Koordinatensystem

Ohne einen festgelegten Ursprung ist „Position“ bedeutungslos. Physik ist immer relativ zu einem Bezugssystem.

2. Der Ortsvektor

Definition (Ortsvektor). Die Position eines Punktes wird durch den Ortsvektor \(\vec r\) beschrieben.
Der Ortsvektor zeigt vom Koordinatenursprung zum Punkt.

Der Ortsvektor ist also kein „Pfeil irgendwo“, sondern immer:

Start: Koordinatenursprung
Ende: betrachteter Punkt

3. Ortsvektor in einem Koordinatensystem

Wir beginnen mit dem einfachsten Fall: dem zweidimensionalen Raum (Ebene).

In der Ebene schreibt man den Ortsvektor als \[ \vec r = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. \] Dabei geben \(x\) und \(y\) die Lage des Punktes entlang der Achsen an.

Wichtig:
\(x\) und \(y\) sind Zahlen mit Einheit, z.B. Meter.

4. „Zeichnung“ eines Ortsvektors (KaTeX)

Der folgende Ausdruck zeigt schematisch, was ein Ortsvektor bedeutet:

\[ \text{Ursprung } (0,0) \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

Man kann sich das so vorstellen:

\[ \vec r = x\,\vec e_x + y\,\vec e_y \]

Dabei sind \(\vec e_x\) und \(\vec e_y\) die Einheitsvektoren entlang der Achsen.

5. Beispiele für Ortsvektoren

Beispiel 1. Ein Punkt liegt bei \(x=3\,\mathrm{m}\) und \(y=2\,\mathrm{m}\).

Sein Ortsvektor ist: \[ \vec r = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\mathrm{m}. \]

Beispiel 2. Ein Punkt liegt links vom Ursprung bei \(x=-1\,\mathrm{m}\) und oben bei \(y=4\,\mathrm{m}\).

\[ \vec r = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\mathrm{m}. \]

6. Ortsvektor im dreidimensionalen Raum

Im Raum (3D) schreibt man den Ortsvektor als \[ \vec r = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}. \]

Jede Komponente beschreibt die Lage entlang einer Raumrichtung.

\[ \vec r = x\,\vec e_x + y\,\vec e_y + z\,\vec e_z \]

7. Einheit des Ortsvektors

Alle Komponenten eines Ortsvektors haben die Einheit \[ [\vec r] = \mathrm{m}. \]

Der Ortsvektor selbst hat ebenfalls die Einheit Meter, da er eine geometrische Länge mit Richtung beschreibt.

8. Wichtige Merksätze

Der Ortsvektor beschreibt nur die Lage, nicht die Bewegung.
Er zeigt immer vom Ursprung zum Punkt.
Er ist ein Vektor und besitzt Richtung und Betrag.
Die Komponenten hängen vom gewählten Koordinatensystem ab.

Auf dieser Grundlage bauen später Geschwindigkeit und Beschleunigung auf. Ohne ein klares Verständnis des Ortsvektors ist Kinematik nicht sinnvoll möglich.